مثلث هارمونیک لایبنیز

مثلث هارمونیک لایبنیز یک آرایش مثلثی شکل از کسرها است :

هر کدام از اعداد این مجموعه را از طریق دو رابطه بازگشتی  زیر میتوان بدست آورد. 

   c:شماره ستون   r:شماره ردیف

     L(r, c) = L(r - 1, c - 1) - L(r, c - 1)              

     L(r, c) = L(r + 1, c) + L(r+1, c + 1)  

 همچنین میتوان با استفاده از ضریب دو جمله ای ، عدد مورد نظر را بدست آورد.

 ازاعداد ردیف دوم خطوط مورب دنباله ای از اعداد بدست می آید به نام اعداد پرونیک (Pronic Number) .

                      2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, ...

که تابع مولد این دنباله به صورت زیر است :

رابطه جالب دیگری که در این ساختار مثلثی اعداد وجود دارد این است که در هر ردیف مجموع اعداد  مخرج کسرها از رابطه زیر بدست می آید .(r ردیف مورد نظر است )   :   r 2^r-1= sum

که از این مجموع اعداد ردیف ها دنباله زیر بدست می آید:

                              1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, ...

منبع :

http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTriangles.html